エレキギターの生鳴りってどれくらい重要ですか？

好みの問題かなと思います。結局はピックアップ=マイクが拾う音が全てなのですが、生鳴りが良い=弦のテンションが強いギターの弦振動はジャキジャキ感が強くなりますし、生鳴りが悪いギターの弦振動は温かみのある音になります。

ピックアップの高さによっても変わるので、一概には言えませんが、私はネックの反りがなく適切なテンションが掛かっている生鳴りのいいギターの音のほうが好きです。
温かみはエフェクターやアンプのセッティングによって追加できますし。
逆に生鳴りの良いテンションがあまり掛かっていないギターの音をジャキジャキにしようとするとEQを変にドンシャリな音にしなくてはいけないので違和感があります。